.

.

روز پی مبارک!

.

امروز 14 مارس، روز پی نام دارد. دلیل آن هم ساده است.

امروز چهاردهمین روز از سومین ماه میلادی است. یعنی 3/14 و این همان تقریب معروف عدد پی است!

البته بخاطر رحلت امام خمینی، در تاریخ 14 خرداد، نمی تونیم این روز به تقویم شمسی جشن بگیریم! :دی

نکته جالب اینکه امروز، 24 اسفند نیز تولد رضاخان پهلوی است!! دیگه انتخاب با خودتون که از بین رحلت امام و تولد رضاخان، کدوم رو انتخاب کنیم!! :دی

حتی یک روز «تقریب عدد پی» هم داریم که 22 ماه ژولای است. روز 22 ام از ماه هفتم. دلیلش هم کسر 22/7 است که تقریبی از عدد پی است.

.

سال گذشته، روز پی یک ویژگی خیلی خاص داشت. از اونجایی که اصولا تقویم میلادی رو به شکل mm/dd/yy می نویسند، 14 مارس سال 2015 میشد 3/1415 که تا چهار رقم بعد از اعشار برابر با عدد پی بود.

بخصوص در ساعت 9 و 26 دقیقه و 54 ثانیه که 10 رقم اول عدد پی را نشان می داد. حتی می توان گفت که در طول همان یک ثانیه، یک لحظه وجود داشته است که دقیقا برابر با خود عدد پی بوده است!

.

به همین مناسبت فرخنده(!) چند مورد از فرمول هایی که توش سر و کله این عدد مرموز پیدا میشه رو می نویسم.

برای هر کدوم ایده کلی اثباتش رو هم نوشتم که اگه دوست داشتید یک دید کلی از دلیل این اتفاق هم ببینید.

.

1) نسبت قطر به محیط!

اولین جایی که پی را می بینیم...

نسبت محیط دایره (2πr) به قطر آن (2r)

شکل های زیر به شکل بامزه ای این نکته را نشان می دهد.

.

در مورد همین «نسبت محیط به قطر» باید بگم که «غیاث الدین جمشید کاشانی» که در مورد عدد پی زیاد بحث و تحقیق کرده، کتاب «رساله محیطیه» اش رو با این جمله شروع می کنه:

«ستایش مخصوص خدایی است که از نسبت قطر به محیط آگاه است!»

در گذشته، فکر می کردند، عدد پی، حاصل تقسیم 2 عدد صحیح است یا به عبارتی عددی گویاست. منتهی کسی آن دو عدد را نمی داند.

یکی از تقریب های رایج پی همان 22/7 است ولی خب فکر می کردند که فقط خدا آن دو عددی که حاصل تقسیمش برابر با پی می شود را می داند. غافل از اینکه اصلا همچین اعدادی وجود ندارند، چرا که پی یک عدد گنگ است.

.

2) مجموع معکوس مربع های اعداد!!

داریم:

اینکه حاصل جمع این اعداد چه جوری به پی ربط پیدا می کنه واقعا جالبه. سر و کله اون پی به توان 2 و اون 6 به شکل خارق العاده ای پیدا میشه! فقط در همین حد بگم که ربط داره به سری تیلور تابع سینوس. اون 6 در فرمول بالا همون !3 فرمول پایینه!

 اویلر، رکورد دار مقاله در تاریخ ریاضیات (و شاید هم تاریخ علم) است. البته از نظر تعداد صفحه.

اویلر از بین همه کارهایی که کرده این اتحاد رو بیشتر از همه دوست داشته! و این نشون میده که چقدر این فرمول خارق العاده است.

جالب اینجاست که همین عبارت توی احتمال هم ظاهر میشه!

مثلا:

فرض کنید 2 عدد طبیعی به شکل تصادفی انتخاب می کنیم. احتمال اینکه این 2 عدد نسبت به هم اول باشند (یعنی هیچ مقسوم علیه مشترکی (بجز 1) نداشته باشند) برابر با وارون همین عدد است! یعنی شش تقسیم بر پی به توان 2!

.

3) فرمول والیس.

به بیان نادقیق (یا بهتر بگم، اشتباه) میشه:

اگر اعداد زوج رو هر کدوم رو دوبار بنویسیم و در هم ضرب کنیم و در صورت کسر بنویسیم، و اعداد فرد رو هم دوبار بنویسیم و ضرب کنیم و در مخرج بنویسیم، حاصل کسر می شود نصف عدد پی!

میشه با تقریب معروف استرلینگ اینو ثابت کرد. تقریب استرلینگ یک تقریب برای !n است که توش از عدد پی استفاده میشه!!

.

4) فرمول ویت.

این هم یک فرمول عجیب غریب دیگه!

اساس این فرمول رو همون اتحاد معروف

Sin 2x = 2 Sin x . Cos x

تشکیل میده.

کافیه مرتبا از این اتحاد استفاده کنید تا به همچین اتحادی برسید.

نهایتا به جای x باید گذاشت Pi/2

.

5) وارون اعداد فرد.

اگه وارون اعداد فرد رو یکی در میون با هم جمع و منها کنیم به ربع عدد پی می رسیم!

اثباتش از بقیه راحت تره. کافیه توی سری تیلور ArcTan قرار دهید x=1

.

6) کسر مسلسل!

البته برای هر عددی میشه کسرهای مسلسل مختلفی نوشت. ولی عدد پی چند تا کسر مسلسل جالب داره...

دلیلش رو خودم هم نمی دونم!!

:دی

.

7) سوزن بوفون!

یک دفتر خط دار رو در نظر بگیرید. فاصله خطوط دفتر را برابر با 1 در نظر بگیرید...

یک سوزن به اندازه 1 واحد رو به شکل تصادفی پرت می کنیم وسط دفتر.

با چه احتمالی این سوزن یکی از خطوط دفتر رو قطع می کنه؟

جواب میشه دو تقسیم بر پی!

در شکل بالا، پنج خط کشیده شده است. فاصله خطوط دقیقا برابر با طول کبریت است.

در بالا 17 کبریت پرتاب شده است. که مثل این است که یک کبریت را 17 بار پرتاب کرده ایم. طبق نکته بالا احتمال برخود کبریت با خطوط برابر با 2 تقسیم بر پی است که حدودا می شود 63%

اما تعداد برخورد ها 11 تاست. حاصل تقسیم 11 بر 17 می شود 0/61

جالب اینجاست که در همین روش بالا، اگر تعداد کبریت ها را زیاد کنیم، از روی تعداد برخوردها می توانیم تقریبی برای عدد پی بدست آوریم!! چیزی که به روش مونت کارلو معروف است.

در اینجا می تونید یک شبیه سازی از این مساله را ببینید، بعلاوه یک شمای کلی از اثباتش.

http://mste.illinois.edu/activity/buffon

.

8) حسن ختام!

و اما این فرمول خارق العاده که به نظرم یکی از زیباترین قضایای ریاضیه...

.

.

یک فرمول خیلی جمع و جور که احتمالا توی اعداد مختلط دیدینش.

اگه نه، روی جلد کتاب ها یا پوسترها و... شاید دیده باشید.

یک فرمولی که بازیگران اصلیش 5 تا از مهم ترین اعداد توی ریاضیه.

e / Pi / i / 1 / 0

پی نوشت: چند وقت پیش تصمیم گرفته بودیم با 2 تا از دوستان بریم روی کوه های اتوبان قم-تهران با سنگ این فرمول رو بنویسم!

که البته تا پای کوه هم رفتیم ولی لحظه آخر یکی از دوستان (که نمی خوام اسمش رو بیارم!!) برنامه رو کنسل کرد... 

.